Задача №19889

Постройте график функции

$y=\frac{(0,75x^2+0,75x)\cdot |x|}{x+1}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

1. Упрощаем формулу. В числителе вынесем общий множитель:

$$0,75x^2+0,75x=0,75x(x+1).$$

Тогда при $x\ne -1$ (знаменатель $x+1\ne 0$)

$$y=\frac{0,75x(x+1)\cdot |x|}{x+1}=0,75x|x|.$$

Область определения: $x\ne -1\text{.}$

2. Раскрываем модуль. Получаем кусочно-заданную функцию из двух парабол:

$$y=\{\begin{array}{ll}0,75x^2,& x\ge 0,\\ -0,75x^2,& x<0.\end{array}$$

При $x\ge 0$ — правая ветвь параболы $y=0,75x^2$ (вверх), при $x<0$ — ветвь $y=-0,75x^2$ (вниз). В точке $x=0$ ветви стыкуются: $y=0\text{.}$ Функция $y=0,75x|x|$ строго возрастает на всей прямой и принимает каждое значение ровно один раз.

3. Выколотая точка. Точка $x=-1$ исключена. Ей соответствовало бы значение

$$y=0,75\cdot (-1)\cdot |-1|=-0,75.$$

Значит, на графике выколота точка $(-1;-0,75)\text{.}$ Так как функция монотонна (инъективна), значение $y=-0,75$ достигается только при $x=-1\text{,}$ а эта точка удалена. Поэтому значение $y=-0,75$ график не принимает вовсе.

4. Пересечение с прямой $y=m\text{.}$ Прямая $y=m$ горизонтальна. Для любого $m\ne -0,75$ уравнение $0,75x|x|=m$ имеет ровно один корень (функция строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$), то есть одна общая точка. При $m=-0,75$ единственный подходящий $x=-1$ выколот — общих точек нет.

Ответ: прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=-0,75\text{.}$