Задача №19883

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B\text{.}$ Найдите $AC\text{,}$ если диаметр окружности равен 16, а $AB=15\text{.}$

Пусть $O$ — центр окружности, он лежит на стороне $AC\text{.}$ Радиус окружности $R=16:2=8\text{.}$

Шаг 1. Радиус в точку касания. Прямая $AB$ касается окружности в точке $B\text{,}$ поэтому радиус $OB\text{,}$ проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OB\perp AB\text{.}$ Значит, треугольник $ABO$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B\text{,}$ причём $OB=R=8\text{,}$ $AB=15\text{.}$

Шаг 2. Гипотенуза $AO\text{.}$ По теореме Пифагора

Шаг 3. Длина $AC\text{.}$ Точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой, причём $O$ лежит между $A$ и $C$ (центр на стороне $AC$). Окружность проходит через вершину $C\text{,}$ значит $OC=R=8\text{.}$ Тогда

Ответ: $AC=25\text{.}$