Задача №19879

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины $A\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB\text{,}$ если $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{11}}{6}\text{.}$

Обозначим точку касания окружности с лучом $AB$ через $T\text{.}$ По условию $AM=36\text{,}$ $AN=44\text{,}$ значит $MN=44-36=8\text{,}$ а $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{11}}{6}\text{.}$

Шаг 1. Длина касательной. Из точки $A$ проведены касательная $AT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N\text{.}$ По свойству касательной и секущей

Шаг 2. Стороны $TM$ и $TN\text{.}$ В треугольнике $ATM$ по теореме косинусов ($\angle A$ — общий угол):

Последнее слагаемое равно $2\cdot 12\cdot 36\cdot \frac{11}{6}=1584\text{,}$ поэтому $T{M}^2=1584+1296-1584=1296$ и $TM=36\text{.}$

Аналогично в треугольнике $ATN\text{:}$

Последнее слагаемое равно $2\cdot 12\cdot 44\cdot \frac{11}{6}=1936\text{,}$ поэтому $T{N}^2=1584+1936-1936=1584$ и $TN=12\sqrt{11}\text{.}$

Шаг 3. Радиус. Точки $M\text{,}$ $N\text{,}$ $T$ лежат на искомой окружности, значит она описана около треугольника $MTN$ со сторонами $TM=36\text{,}$ $TN=12\sqrt{11}\text{,}$ $MN=8\text{.}$ Найдём $\cos \angle MTN$ по теореме косинусов:

Тогда

По теореме синусов для треугольника $MTN$ радиус описанной окружности

Ответ: $21,6\text{.}$