Задача №19878

Решите уравнение $x^2-3x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+40\text{.}$

Область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Упрощение. В обеих частях уравнения присутствует слагаемое $\sqrt{6-x}\text{.}$ При $x\le 6$ это выражение определено, и его можно вычесть из обеих частей:

Решение квадратного уравнения.

По теореме Виета корни $x_1+x_2=3\text{,}$ $x_1{x}_2=-40\text{,}$ откуда $x_1=8\text{,}$ $x_2=-5$ (или через дискриминант $D=9+160=169\text{,}$ $\sqrt{D}=13\text{,}$ $x=\frac{3\pm 13}{2}$).

Отбор корней по ОДЗ.

• $x_1=8\text{:}$ не удовлетворяет условию $x\le 6$ — посторонний корень.
• $x_2=-5\text{:}$ $-5\le 6$ — подходит; проверка $6-(-5)=11\ge 0\text{.}$

Ответ: $-5$