Задача №19871

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD\text{,}$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{,}$ а $CD=34\text{.}$

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.

Шаг 1. Найдём углы при основании $AD\text{.}$
При боковой стороне $AB$ углы $ABC$ и $BAD$ — односторонние (сумма $180^{\circ }$):

При боковой стороне $CD$ углы $BCD$ и $CDA$ — односторонние:

Шаг 2. Опустим высоты $BH$ и $CK$ на прямую $AD\text{.}$
Высота трапеции одна и та же: $BH=CK=h\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $CKD\text{:}$

Из прямоугольного треугольника $ABH$ (угол при $A$ равен $135^{\circ }\text{,}$ острый угол наклона стороны $AB$ к $AD$ равен $180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$):

Шаг 3. Приравняем высоты.

Ответ: $AB=17\sqrt{6}\text{.}$