Постройте график функции
y=x+2(0,5x2+x)⋅∣x∣.
Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.
1. Упрощаем формулу. Разложим числитель: 0,5x2+x=0,5x(x+2). Тогда
y=x+20,5x(x+2)⋅∣x∣=0,5x∣x∣,x=−2.Область определения: все x, кроме x=−2 (при x=−2 знаменатель равен нулю).
2. Раскрываем модуль. Получаем кусочную функцию (две ветви парабол):
y={0,5x2,−0,5x2,x≥0,x<0.Это нечётная, строго возрастающая на всей числовой прямой функция; её множество значений — все действительные числа. График — «сдвоенная парабола»: при x≥0 ветвь вверх (y=0,5x2), при x<0 ветвь вниз (y=−0,5x2).
3. Учитываем выколотую точку. Точка x=−2 исключена. Если бы она входила, её ордината была бы y=0,5⋅(−2)⋅∣−2∣=−2. Значит, на графике выколота точка (−2;−2).
4. Пересечение с прямой y=m. Функция строго возрастает, поэтому каждое значение y достигается ровно при одном x. Прямая y=m пересекает график ровно в одной точке для любого m — кроме того значения, которое «приходилось» на выколотую точку. Значение y=−2 достигалось бы только при x=−2, а эта точка исключена; ни при каком другом x значение −2 не принимается (функция строго возрастает). Поэтому при m=−2 прямая y=m не имеет с графиком общих точек.
Ответ: m=−2.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Функции и начала анализа
ФИПИ