Задача №19866

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=18\text{,}$ $AC=36\text{,}$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ Прямая $BD\text{,}$ перпендикулярная прямой $AO\text{,}$ пересекает сторону $AC$ в точке $D\text{.}$
Найдите $CD\text{.}$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, тогда $OA=OB=OC=R\text{.}$

Шаг 1. Углы, которые $AO$ образует со сторонами.
Треугольник $OAB$ равнобедренный ($OA=OB$). Центральный угол $\angle AOB=2\angle ACB$ (опирается на ту же дугу $AB\text{,}$ что и вписанный угол $ACB$), поэтому

Аналогично из равнобедренного треугольника $OAC\text{:}$

Шаг 2. Условие перпендикулярности.
Точки $B$ и $D$ лежат на прямой $BD\text{,}$ перпендикулярной прямой $AO\text{,}$ значит их ортогональные проекции на прямую $AO$ совпадают. Проекция отрезка $AB$ на $AO$ равна $AB\cos \angle OAB\text{,}$ а проекция отрезка $AD$ (точка $D$ на луче $AC$) равна $AD\cos \angle OAC\text{.}$ Приравнивая:

Шаг 3. Теорема синусов.
По теореме синусов $\frac{\sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{AB}{AC}\text{,}$ поэтому

Шаг 4. Искомый отрезок.

Ответ: $27\text{.}$