Задача №19858

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=40\text{,}$ $AC=64\text{,}$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ Прямая $BD\text{,}$ перпендикулярная прямой $AO\text{,}$ пересекает сторону $AC$ в точке $D\text{.}$
Найдите $CD\text{.}$

Обозначим углы треугольника: $\angle A\text{,}$ $\angle B\text{,}$ $\angle C\text{.}$

Шаг 1. Угол между стороной $AB$ и радиусом $AO\text{.}$
Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB$ как радиусы описанной окружности). Центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу $AB$ и вдвое больше вписанного угла $\angle ACB\text{:}$ $\angle AOB=2\angle C\text{.}$ Значит

Шаг 2. Угол между $AB$ и прямой $BD\text{.}$
Пусть $P$ — точка пересечения прямых $BD$ и $AO\text{.}$ По условию $BD\perp AO\text{,}$ поэтому в треугольнике $ABP$ угол $\angle APB=90^{\circ }\text{,}$ а $\angle PAB=\angle OAB=90^{\circ }-\angle C\text{.}$ Тогда

Шаг 3. Подобие.
В треугольнике $ABD$ угол при вершине $A$ равен $\angle BAD=\angle A\text{,}$ а угол при вершине $B$ равен $\angle ABD=\angle C\text{.}$ Значит

У треугольников $ABD$ и $ACB$ равны по два угла: $\angle A$ — общий, $\angle ABD=\angle ACB=\angle C\text{.}$ Следовательно, $△ABD\sim △ACB$ (соответствие вершин $A\leftrightarrow A\text{,}$ $B\leftrightarrow C\text{,}$ $D\leftrightarrow B$).

Шаг 4. Вычисление.
Из подобия $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}\text{,}$ откуда

Тогда

Ответ: $39\text{.}$