Задача №19850

Постройте график функции $y=x^2-9x-2|x-4|+20$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль. Точка перелома: $x=4\text{.}$

Случай $x\ge 4\text{:}$ $|x-4|=x-4\text{,}$ поэтому

Это ветвь параболы, ветви вверх; вершина в точке $x=\frac{11}{2}=5,5\text{,}$ $y=-2,25\text{.}$ В точке $x=4$ имеем $y=0\text{;}$ нули $x=4$ и $x=7\text{.}$

Случай $x<4\text{:}$ $|x-4|=4-x\text{,}$ поэтому

Это ветвь параболы, ветви вверх; вершина в точке $x=\frac{7}{2}=3,5\text{,}$ $y=-0,25\text{.}$ При $x\to 4^{-}$ значение $y\to 0$ (не включая), нуль в этой части — $x=3\text{.}$

В точке $x=4$ обе части дают $y=0\text{,}$ график непрерывен.

Итак, график — две «стыкующиеся» в точке $(4;0)$ ветви парабол с локальными минимумами $(3,5;-0,25)$ (левая, при $x<4$) и $(5,5;-2,25)$ (правая, при $x\ge 4$).

Число точек пересечения с прямой $y=m\text{.}$ Посчитаем отдельно для каждой ветви.

Левая ветвь ($x<4\text{,}$ минимум $-0,25\text{,}$ значения у стыка стремятся к $0\text{,}$ не включая):

• $m>0$ — 1 точка; $m=0$ — 1 точка ($x=3$); $-0,25<m<0$ — 2 точки; $m=-0,25$ — 1 точка (вершина); $m<-0,25$ — 0 точек.

Правая ветвь ($x\ge 4\text{,}$ минимум $-2,25\text{,}$ в точке $x=4$ значение $0$ включено):

• $m>0$ — 1 точка; $m=0$ — 2 точки ($x=4$ и $x=7$); $-2,25<m<0$ — 2 точки; $m=-2,25$ — 1 точка; $m<-2,25$ — 0 точек.

Суммируем:

• $m>0\text{:}$ $1+1=2\text{;}$
• $m=0\text{:}$ $1+2=3\text{;}$
• $-0,25<m<0\text{:}$ $2+2=4\text{;}$
• $m=-0,25\text{:}$ $1+2=3\text{;}$
• $-2,25<m<-0,25\text{:}$ $0+2=2\text{;}$
• $m=-2,25\text{:}$ $0+1=1\text{;}$
• $m<-2,25\text{:}$ $0\text{.}$

Ровно три общие точки — при $m=0$ и $m=-0,25\text{.}$

Проверка при $m=-0,25\text{:}$ правая ветвь $x^2-11x+28=-0,25\Rightarrow x^2-11x+28,25=0\text{,}$ дискриминант $121-113=8>0$ — два корня $\approx 4,09$ и $6,91$ (оба $\ge 4$); левая ветвь даёт вершину $x=3,5$ — всего 3 точки. При $m=0\text{:}$ левая — $x=3\text{;}$ правая — $x=4$ и $x=7$ — всего 3 точки.

Ответ: $m=-0,25$ или $m=0\text{.}$