Задача №19848

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M\text{,}$ $AD=49\text{,}$ $MD=42\text{,}$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC\text{.}$ Найдите $AH\text{.}$

Шаг 1. Угол $BMC$ прямой.

Точка $M$ лежит на полуокружности, построенной на $BC$ как на диаметре. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle BMC=90^{\circ }\text{.}$

Шаг 2. Соотношение в прямоугольном треугольнике $BMC\text{.}$

Точка $D$ — основание высоты $AD\text{,}$ значит $AD\perp BC\text{,}$ а так как $M\in AD\text{,}$ то $MD$ — высота прямоугольного треугольника $BMC\text{,}$ опущенная из вершины прямого угла $M$ на гипотенузу $BC\text{.}$ По свойству высоты прямоугольного треугольника она есть среднее геометрическое проекций катетов:

Отсюда $BD\cdot DC=42^2=1764\text{.}$

Шаг 3. Ортоцентр на высоте $AD\text{.}$

Пусть $H$ — точка пересечения высот. Обозначим углы треугольника $B=\angle ABC\text{,}$ $C=\angle ACB\text{.}$ Из прямоугольных треугольников $ABD$ и $ACD\text{:}$

Высота из вершины $B$ проходит через $H$ и перпендикулярна $AC\text{,}$ поэтому $\angle HBD=90^{\circ }-C\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $BDH$ (прямой угол при $D$):

Подставляя $BD=\frac{AD}{\tan B}\text{,}$ получаем

Шаг 4. Находим $HD$ и $AH\text{.}$

Итак, $AD\cdot HD=BD\cdot DC=M{D}^2=1764\text{,}$ поэтому

Так как $H$ лежит на отрезке $AD$ (треугольник остроугольный, ортоцентр внутри), то

Ответ: $AH=13\text{.}$