Задача №19847

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=44$ и $CD=8$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$ причём $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Шаг 1. Угол между диагоналями через дуги.

Диагонали $AC$ и $BD$ — пересекающиеся хорды, точка $K$ внутри окружности. Угол между двумя хордами равен полусумме заключённых между ними дуг:

Шаг 2. Вспомогательное построение — «складываем» дуги.

Отметим на окружности точку $P$ так, что дуга $AP$ (не содержащая $B$) равна дуге $CD\text{.}$ Тогда $AP$ — хорда, стягивающая дугу, равную $⌣CD\text{,}$ поэтому

При этом дуга $BP\text{,}$ содержащая $A\text{,}$ равна

Шаг 3. Хорда $BP$ и радиус.

Хорда $BP$ стягивает дугу $120^{\circ }\text{,}$ значит вписанный угол, опирающийся на неё, равен $60^{\circ }\text{,}$ и по формуле хорды

Шаг 4. Треугольник $ABP$ и теорема косинусов.

Угол $\angle BAP$ — вписанный, опирается на дугу $BP\text{,}$ не содержащую $A\text{;}$ её мера $360^{\circ }-120^{\circ }=240^{\circ }\text{,}$ поэтому

В треугольнике $ABP$ известны $AB=44\text{,}$ $AP=8\text{,}$ $\angle BAP=120^{\circ }\text{.}$ По теореме косинусов:

Шаг 5. Ответ.

Из $BP=R\sqrt{3}$ и $BP=28\sqrt{3}$ получаем

Ответ: $R=28\text{.}$