Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK=14.

Окружность построена на BH как на диаметре, значит любой её точки видно диаметр BH под прямым углом. Точка P лежит на окружности и на стороне AB. Угол BPH опирается на диаметр BH, поэтому BPH = 90^, то есть HP AB. Точка K лежит на окружности и на стороне CB. Угол BKH опирается на диаметр BH, поэтому BKH = 90^, то есть HK CB. Рассмотрим четырёхугольник BPHK. У него три прямых угла: PBK = B = 90^ (угол исходного прямоугольного треугольника), BPH = 90^ и BKH = 90^. Тогда и четвёртый угол равен 90^, значит BPHK — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны. Диагоналями BPHK являются отрезки BH и PK, поэтому BH = PK = 14. Ответ: 14.

14