Задача №18802

Точка $H$ является основанием высоты $BH\text{,}$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH\text{,}$ если $PK=14\text{.}$

Окружность построена на $BH$ как на диаметре, значит любой её точки видно диаметр $BH$ под прямым углом.

1. Точка $P$ лежит на окружности и на стороне $AB\text{.}$ Угол $BPH$ опирается на диаметр $BH\text{,}$ поэтому $\angle BPH=90^{\circ }\text{,}$ то есть $HP\perp AB\text{.}$
2. Точка $K$ лежит на окружности и на стороне $CB\text{.}$ Угол $BKH$ опирается на диаметр $BH\text{,}$ поэтому $\angle BKH=90^{\circ }\text{,}$ то есть $HK\perp CB\text{.}$
3. Рассмотрим четырёхугольник $BPHK\text{.}$ У него три прямых угла: $\angle PBK=\angle B=90^{\circ }$ (угол исходного прямоугольного треугольника), $\angle BPH=90^{\circ }$ и $\angle BKH=90^{\circ }\text{.}$ Тогда и четвёртый угол равен $90^{\circ }\text{,}$ значит $BPHK$ — прямоугольник.
4. Диагонали прямоугольника равны. Диагоналями $BPHK$ являются отрезки $BH$ и $PK\text{,}$ поэтому $BH=PK=14\text{.}$

Ответ: $14\text{.}$