Задача №19843

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 18 и 6, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD\text{,}$ если $AB=10\text{.}$

Шаг 1. Боковые стороны перпендикулярны.

Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$ углы при вершинах $A$ и $D$ — это углы трапеции при основании $AD\text{,}$ их сумма равна $90^{\circ }\text{.}$ Значит,

то есть прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Шаг 2. Находим $PA$ и $PB\text{.}$

Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольники $PBC$ и $PAD$ подобны с коэффициентом

Поэтому $PB=\frac{1}{3}PA\text{,}$ а значит

Шаг 3. Расстояние от центра до прямой $CD\text{.}$

Пусть $O$ — центр искомой окружности, $M$ — середина хорды $AB\text{.}$ Тогда $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB\text{,}$ то есть на прямой $\ell \text{,}$ проходящей через $M$ перпендикулярно $AB\text{.}$

Прямая $CD$ проходит через точку $P$ и (по шагу 1) перпендикулярна $AB\text{.}$ Значит, прямые $\ell$ и $CD$ обе перпендикулярны $AB\text{,}$ то есть параллельны. Расстояние между ними равно отрезку $PM\text{,}$ отложенному вдоль $AB\text{:}$

Поскольку $O\in \ell \text{,}$ расстояние от $O$ до прямой $CD$ равно расстоянию между параллельными прямыми $\ell$ и $CD\text{,}$ то есть $PM=10\text{.}$

Шаг 4. Условие касания.

Окружность касается прямой $CD\text{,}$ поэтому радиус равен расстоянию от центра $O$ до этой прямой:

Проверка (степень точки $P$): $PA\cdot PB=15\cdot 5=75\text{,}$ откуда длина касательной из $P$ равна $\sqrt{75}=5\sqrt{3}\text{.}$ Опустив перпендикуляр из $O$ на $CD$ в точку касания $T\text{,}$ получаем прямоугольник $PMOT$ со сторонами $PT=5\sqrt{3}$ и $R=PM=10\text{;}$ тогда $O{A}^2=O{M}^2+M{A}^2=(5\sqrt{3}{)}^2+5^2=75+25=100=R^2$ — согласовано.

Ответ: $R=10\text{.}$