Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=12 и CD=30 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём AKB=60^. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Задача №19842: Геометрические задачи повышенной…

Диагонали $A C$ и $B D$ — это хорды описанной окружности, пересекающиеся в точке $K .$

Шаг 1. Найдём сумму дуг $A B$ и $C D .$

Рассмотрим треугольник $A B K .$ Его угол $∠ A K B = 6 0^{\circ},$ поэтому

∠ K A B + ∠ K B A = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ} .

Угол $∠ K A B = ∠ C A B$ — вписанный, он опирается на дугу $B C;$ угол $∠ K B A = ∠ D B A$ — вписанный, он опирается на дугу $A D .$ Значит,

\frac{1}{2} (⌣ B C + ⌣ A D) = 12 0^{\circ} \Rightarrow ⌣ B C + ⌣ A D = 24 0^{\circ} .

Тогда для оставшихся дуг

⌣ A B + ⌣ C D = 36 0^{\circ} - 24 0^{\circ} = 12 0^{\circ} .

Шаг 2. Свяжем стороны с радиусом.

Обозначим через $φ$ и $ψ$ вписанные углы, опирающиеся на хорды $A B$ и $C D;$ тогда $φ = \frac{1}{2} ⌣ A B,$ $ψ = \frac{1}{2} ⌣ C D,$ и из шага 1

φ + ψ = 6 0^{\circ} .

По теореме синусов (хорда равна $2 R$ на синус опирающегося на неё вписанного угла):

A B = 2 R sin φ = 12 \Rightarrow sin φ = \frac{6}{R}, C D = 2 R sin ψ = 30 \Rightarrow sin ψ = \frac{15}{R} .

Шаг 3. Решим систему.

Подставим $ψ = 6 0^{\circ} - φ :$

\frac{15}{R} = sin (6 0^{\circ} - φ) = \frac{3}{2} cos φ - \frac{1}{2} sin φ = \frac{3}{2} cos φ - \frac{3}{R} .

Отсюда

\frac{18}{R} = \frac{3}{2} cos φ \Rightarrow cos φ = \frac{36}{3 R} = \frac{12 3}{R} .

Используя $sin^{2} φ + cos^{2} φ = 1 :$

\frac{36}{R ^{2}} + \frac{432}{R ^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{468}{R ^{2}} = 1 \Rightarrow R^{2} = 468.

Значит,

R = 468 = 36 \cdot 13 = 613 .

Ответ: $R = 613 .$