Задача №19841

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с большим основанием $AD\text{,}$ меньшим основанием $BC$ ($BC\parallel AD$) и равными боковыми сторонами $AB=CD\text{.}$ Диагональ $BD$ образует с боковой стороной $AB$ угол $\angle ABD=77^{\circ }$ (в вершине $B$) и с боковой стороной $CD$ угол $\angle BDC=29^{\circ }$ (в вершине $D$).

Обозначим искомый угол при большем основании $\angle A=\alpha \text{.}$ В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому $\angle ADC=\alpha \text{.}$

Диагональ $BD$ делит угол $\angle ADC$ на два: $\angle ADC=\angle ADB+\angle BDC\text{,}$ откуда

Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ Сумма его углов равна $180^{\circ }\text{:}$

Отсюда $2\alpha +48^{\circ }=180^{\circ }\text{,}$ значит $2\alpha =132^{\circ }$ и $\alpha =66^{\circ }\text{.}$

Угол $66^{\circ }$ острый, что и должно быть для угла при большем основании трапеции (при меньшем основании угол равен $180^{\circ }-66^{\circ }=114^{\circ }$).

Ответ: $66^{\circ }\text{.}$