Задача №19839

Постройте график функции

$y=\frac{4,5|x|-1}{|x|-4,5x^2}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.

Упрощение формулы. Обозначим $t=|x|\ge 0\text{.}$ Так как $x^2=|x{|}^2=t^2\text{,}$ знаменатель

$$|x|-4,5x^2=t-4,5t^2=t(1-4,5t).$$

Числитель $4,5|x|-1=4,5t-1=-(1-4,5t)\text{.}$ Тогда при $t\ne 0$ и $1-4,5t\ne 0$

$$y=\frac{-(1-4,5t)}{t(1-4,5t)}=-\frac{1}{t}=-\frac{1}{|x|}.$$

Область определения. Формула теряет смысл при $x=0$ (это обычный разрыв гиперболы) и при $1-4,5t=0\text{,}$ то есть $|x|=\frac{1}{4,5}=\frac{2}{9}\text{.}$ Значит из графика $y=-\frac{1}{|x|}$ выколоты две точки с абсциссами $x=\pm \frac{2}{9}\text{;}$ их ордината $y=-\frac{1}{2/9}=-\frac{9}{2}=-4,5\text{.}$ Итак выколоты точки $\left(\frac{2}{9};-4,5\right)$ и $\left(-\frac{2}{9};-4,5\right)\text{.}$

График. $y=-\frac{1}{|x|}$ — чётная функция, симметричная относительно оси $Oy\text{,}$ обе ветви лежат ниже оси $Ox\text{:}$ при $x>0$ это $y=-\frac{1}{x}$ (в IV четверти), при $x<0$ это $y=\frac{1}{x}$ (в III четверти). На графике две выколотые точки на уровне $y=-4,5\text{.}$

Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$ Прямая проходит через начало координат.

• Правая ветвь ($x>0$): $kx=-\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=-1\Rightarrow x^2=-\frac{1}{k}\text{.}$ Решение есть только при $k<0\text{.}$
• Левая ветвь ($x<0$): $kx=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}\text{.}$ Решение есть только при $k>0\text{.}$

При $k=0$ прямая $y=0$ (ось $Ox$) не пересекает график, так как $y=-\frac{1}{|x|}<0$ всюду — общих точек нет.

При $k\ne 0$ прямая всегда пересекает ровно одну ветвь, кроме случая, когда единственная точка пересечения попадает в выколотую точку.

• Прямая, проходящая через выколотую точку правой ветви $\left(\frac{2}{9};-4,5\right)\text{,}$ имеет угловой коэффициент $k=\frac{-4,5}{2/9}=-4,5\cdot 4,5=-20,25\text{.}$ При этом $k<0$ прямая пересекала бы только правую ветвь, но там точка выколота — общих точек нет.
• Прямая через выколотую точку левой ветви $\left(-\frac{2}{9};-4,5\right)\text{:}$ $k=\frac{-4,5}{-2/9}=20,25\text{.}$ При $k>0$ пересекается только левая ветвь, но там точка выколота — общих точек нет.

Ответ: прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k=-20,25\text{,}$ $k=0$ и $k=20,25\text{.}$