Задача №19836

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^{\circ }\text{.}$ Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 8.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC=3$ и $AD=8\text{,}$ а диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ угол $\angle CAD=45^{\circ }\text{.}$

Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$ ($H$ — на прямой $AD$). Получим прямоугольный треугольник $ACH$ с прямым углом при $H\text{.}$

Найдём положение точки $H\text{.}$ В равнобедренной трапеции перпендикуляры, опущенные из вершин меньшего основания на большее, отсекают у концов большего основания равные отрезки длиной

$$\frac{AD-BC}{2}=\frac{8-3}{2}=2,5.$$

Поэтому проекция $H$ вершины $C$ отстоит от вершины $A$ на

$$AH=2,5+BC=2,5+3=5,5.$$

В прямоугольном треугольнике $ACH$ угол $\angle CAH=45^{\circ }\text{,}$ значит он равнобедренный и

$$CH=AH\cdot \tan 45^{\circ }=AH=5,5.$$

Высота трапеции равна $CH=5,5\text{.}$

Ответ: 5,5.