Задача №19834

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M\text{,}$ $AD=90\text{,}$ $MD=69\text{,}$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC\text{.}$ Найдите $AH\text{.}$

Дано: остроугольный $△ABC\text{;}$ $AD$ — высота ($AD\perp BC\text{,}$ $D\in BC$); на $BC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая $AD$ в точке $M\text{;}$ $AD=90\text{,}$ $MD=69\text{;}$ $H$ — ортоцентр. Найти $AH\text{.}$

Шаг 1. Свойство точки $M$ на полуокружности.
Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC\text{,}$ значит вписанный угол $\angle BMC=90^{\circ }$ (опирается на диаметр). В прямоугольном $△BMC$ отрезок $MD$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $BC$ (ведь $M$ лежит на $AD\perp BC\text{,}$ поэтому $MD\perp BC$). По свойству среднего геометрического:

Значит $BD\cdot DC=69^2=4761.$

Шаг 2. Расстояние от $D$ до ортоцентра.
Ортоцентр $H$ лежит на высоте $AD\text{.}$ Пусть $E$ — основание высоты из вершины $B$ ($BE\perp AC$). В прямоугольном $△BEC$ угол $\angle EBC=90^{\circ }-\angle C\text{,}$ то есть $\angle HBD=90^{\circ }-\angle C\text{.}$ В прямоугольном $△ADC$ угол $\angle DAC=90^{\circ }-\angle C\text{.}$

Сравним $△BDH$ и $△ADC\text{:}$ $\angle BDH=\angle ADC=90^{\circ }$ и $\angle DBH=\angle DAC=90^{\circ }-\angle C\text{.}$ Значит $△BDH\sim △ADC\text{,}$ откуда

Шаг 3. Вычисление.

Точка $H$ лежит на отрезке $AD$ (треугольник остроугольный, ортоцентр внутри), поэтому

Ответ: $37,1\text{.}$