Задача №19830

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите площадь параллелограмма, если $BC=19\text{,}$ а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 7.

Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A\text{,}$ значит она равноудалена от сторон этого угла: расстояние от $K$ до $AD$ равно расстоянию от $K$ до $AB\text{,}$ то есть $7\text{.}$

Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B\text{,}$ значит она равноудалена от сторон угла $B\text{:}$ расстояние от $K$ до $BC$ равно расстоянию от $K$ до $AB\text{,}$ то есть тоже $7\text{.}$

Стороны $AD$ и $BC$ параллелограмма параллельны, а точка $K$ лежит внутри параллелограмма (между этими прямыми) и удалена от каждой из них на $7\text{.}$ Поэтому расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ равно $7+7=14\text{.}$ Это и есть высота параллелограмма, опущенная на сторону $BC$ (или $AD$).

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

Ответ: $266\text{.}$