Задача №19829

Обозначим равнобедренную трапецию $ABCD\text{:}$ $AB$ — большее (нижнее) основание, $CD$ — меньшее (верхнее) основание, $AD$ и $BC$ — боковые стороны. Диагональ $AC$ образует с боковыми сторонами углы: $\angle DAC=23^{\circ }$ (с боковой стороной $AD$) и $\angle ACB=75^{\circ }$ (с боковой стороной $CB$).

Пусть угол при большем основании равен $\beta \text{:}$ $\angle DAB=\angle ABC=\beta \text{.}$ Углы при меньшем основании тогда равны $180^{\circ }-\beta$ (сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^{\circ }$).

Поскольку $CD\parallel AB\text{,}$ а $AC$ — секущая, накрест лежащие углы равны:

Выразим угол при меньшем основании через диагональ:

А угол при большем основании:

откуда $\angle CAB=\beta -23^{\circ }\text{.}$

Углы при большем и меньшем основаниях по одной боковой стороне в сумме дают $180^{\circ }\text{:}$

Подставляем:

Проверка. В треугольнике $ABC\text{:}$ $\angle CAB=64^{\circ }-23^{\circ }=41^{\circ }\text{,}$ $\angle ABC=64^{\circ }\text{,}$ $\angle ACB=75^{\circ }\text{;}$ сумма $41^{\circ }+64^{\circ }+75^{\circ }=180^{\circ }\text{.}$ Всё согласовано.

Ответ: $64\text{.}$