Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 8.

Задача №19824: Геометрические задачи на вычисление

Ключевая идея. Углы $A$ и $B$ параллелограмма прилежат к стороне $A B,$ поэтому они односторонние при параллельных $A D$ и $B C :$ $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ} .$

Угол при вершине $K .$ Биссектрисы делят углы пополам, значит в треугольнике $A B K :$

∠ K A B = \frac{∠ A}{2}, ∠ K B A = \frac{∠ B}{2} .

Тогда

∠ K A B + ∠ K B A = \frac{∠ A + ∠ B}{2} = \frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ},

откуда $∠ A K B = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ} .$ Значит треугольник $A B K$ прямоугольный с прямым углом при $K .$

Длина $A B .$ Обозначим $∠ A = α,$ тогда $∠ K A B = \frac{α}{2},$ $∠ K B A = 9 0^{\circ} - \frac{α}{2} .$ Опустим из $K$ перпендикуляр $K F$ на прямую $A B;$ по условию $K F = 8$ — это расстояние от $K$ до $A B .$ Из прямоугольных треугольников $A K F$ и $B K F :$

A F = K F \cdot ctg \frac{α}{2}, F B = K F \cdot ctg (9 0^{\circ} - \frac{α}{2}) = K F \cdot tg \frac{α}{2} .

Поэтому

A B = A F + F B = K F (ctg \frac{α}{2} + tg \frac{α}{2}) = K F \cdot \frac{1}{sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}} = \frac{2 K F}{sin α} = \frac{16}{sin α} .

Высота параллелограмма. Высота, опущенная на сторону $A B,$ равна

h = A D \cdot sin α = B C \cdot sin α = 2 sin α,

так как $A D = B C = 2 .$

Площадь.

S = A B \cdot h = \frac{16}{sin α} \cdot 2 sin α = 32.

Значение угла $α$ сократилось — площадь не зависит от формы параллелограмма.

Ответ: $32 .$

Угол при вершине $K .$ Биссектрисы делят углы пополам, значит в треугольнике $A B K :$

∠ K A B = \frac{∠ A}{2}, ∠ K B A = \frac{∠ B}{2} .

Тогда

∠ K A B + ∠ K B A = \frac{∠ A + ∠ B}{2} = \frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ},

откуда $∠ A K B = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ} .$ Значит треугольник $A B K$ прямоугольный с прямым углом при $K .$

A F = K F \cdot ctg \frac{α}{2}, F B = K F \cdot ctg (9 0^{\circ} - \frac{α}{2}) = K F \cdot tg \frac{α}{2} .

Поэтому

A B = A F + F B = K F (ctg \frac{α}{2} + tg \frac{α}{2}) = K F \cdot \frac{1}{sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}} = \frac{2 K F}{sin α} = \frac{16}{sin α} .

Высота параллелограмма. Высота, опущенная на сторону $A B,$ равна

h = A D \cdot sin α = B C \cdot sin α = 2 sin α,

так как $A D = B C = 2 .$

Площадь.

S = A B \cdot h = \frac{16}{sin α} \cdot 2 sin α = 32.

Значение угла $α$ сократилось — площадь не зависит от формы параллелограмма.

Ответ: $32 .$

Задача №19824

Задача #19824

Решай похожие задачи

Информация

Задача №19824

Задача #19824

Решай похожие задачи

Информация

Задача #19824

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #19824

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация