Задача №19821

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AH=5\text{,}$ $AC=45\text{.}$

Высота $BH\text{,}$ опущенная из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AC\text{,}$ разбивает прямоугольный треугольник $ABC$ на два треугольника, подобных исходному.

Рассмотрим треугольники $ABH$ и $ACB\text{.}$ У них общий угол $A\text{,}$ а углы $AHB$ и $ABC$ прямые. Значит, по двум углам $△ABH\sim △ACB\text{.}$

Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон:

откуда $A{B}^2=AC\cdot AH$ (катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и прилежащим к нему отрезком гипотенузы).

Подставляем данные $AH=5\text{,}$ $AC=45\text{:}$

Ответ: $AB=15\text{.}$