Задача №19817

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C\text{.}$ Найдите длину отрезка $KP\text{,}$ если $AK=14\text{,}$ а сторона $AC$ в 2 раза больше стороны $BC\text{.}$

Точки $B\text{,}$ $K\text{,}$ $P\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности, поэтому $BKPC$ — вписанный (циклический) четырёхугольник.

Подобие треугольников $AKP$ и $ACB\text{.}$

Угол $A$ — общий для треугольников $AKP$ и $ACB\text{.}$

В циклическом четырёхугольнике $BKPC$ сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$ $\angle BKP+\angle BCP=180^{\circ }\text{.}$ Но угол $\angle AKP$ — смежный с $\angle BKP$ (точки $A\text{,}$ $K\text{,}$ $B$ лежат на одной прямой), поэтому $\angle AKP=180^{\circ }-\angle BKP=\angle BCP=\angle ACB\text{.}$

Значит, у треугольников $AKP$ и $ACB$ равны по два угла ($\angle A$ общий и $\angle AKP=\angle ACB$), поэтому они подобны:

Соответствие вершин: $A\leftrightarrow A\text{,}$ $K\leftrightarrow C\text{,}$ $P\leftrightarrow B\text{.}$

Нахождение $KP\text{.}$

Из подобия сходственные стороны пропорциональны:

По условию $AK=14$ и $AC=2\cdot BC\text{,}$ поэтому

Ответ: $7\text{.}$