Задача №19813

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=15\text{,}$ $AC=25\text{,}$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ Прямая $BD\text{,}$ перпендикулярная прямой $AO\text{,}$ пересекает сторону $AC$ в точке $D\text{.}$
Найдите $CD\text{.}$

Пусть $\angle A\text{,}$ $\angle B\text{,}$ $\angle C$ — углы треугольника $ABC\text{,}$ $O$ — центр описанной окружности, $R$ — её радиус.

Углы, которые $AO$ образует со сторонами. Центральный угол $\angle AOC$ опирается на дугу $AC$ и вдвое больше вписанного $\angle ABC\text{,}$ поэтому $\angle AOC=2\angle B\text{.}$ Треугольник $AOC$ равнобедренный ($OA=OC=R$), значит

Аналогично из равнобедренного треугольника $AOB$ ($\angle AOB=2\angle C$)

Тогда $\angle OAB+\angle OAC=180^{\circ }-\angle B-\angle C=\angle A\text{,}$ то есть луч $AO$ проходит внутри угла $A$ (между $AB$ и $AC$).

Проекция на прямую $AO\text{.}$ Так как $BD\perp AO\text{,}$ точки $B$ и $D$ проектируются на прямую $AO$ в одну и ту же точку $M\text{.}$ Из прямоугольных треугольников $ABM$ и $ADM\text{:}$

Значит $AD\sin \angle B=AB\sin \angle C\text{,}$ откуда

Теорема синусов. По теореме синусов $\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}\text{,}$ поэтому $\frac{\sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{AB}{AC}\text{.}$ Следовательно

Точка $D$ лежит на стороне $AC\text{,}$ поэтому

Ответ: $16\text{.}$