Задача №19808

Решите неравенство $\frac{2x^2-12x+18}{x+4}\le 0\text{.}$

Разложим числитель на множители, выделив полный квадрат:

Неравенство принимает вид:

Множитель $2(x-3{)}^2\ge 0$ при всех $x$ и обращается в нуль только при $x=3\text{.}$ Знак всей дроби (при $x\ne 3$) определяется знаком знаменателя $x+4\text{.}$

Случай равенства нулю. Дробь равна $0\text{,}$ когда числитель равен $0\text{,}$ а знаменатель нет: $x=3$ (при этом $x+4=7\ne 0$) — подходит.

Случай строго меньше нуля. При $x\ne 3$ числитель положителен, поэтому дробь отрицательна тогда и только тогда, когда $x+4<0\text{,}$ то есть $x<-4\text{.}$

Объединяя, получаем $x<-4$ или $x=3\text{.}$

Ответ: $(-\infty ;-4)\cup \{3\}\text{.}$