Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 34∘. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 34∘. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба, а OH — перпендикуляр, опущенный из O на сторону ромба (H — основание перпендикуляра на стороне).
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Обозначим половину острого угла ромба через α, а половину тупого — через β. Тогда α+β=90∘ (так как сумма острого и тупого углов ромба равна 180∘).
Рассмотрим прямоугольный треугольник OHB, где вершина B — тупая вершина ромба. Диагональ делит тупой угол пополам, поэтому угол между стороной и диагональю в вершине B равен β, то есть ∠OBH=β. Так как ∠OHB=90∘, то
∠HOB=90∘−β=α.Значит, перпендикуляр OH образует с диагональю, идущей к тупым вершинам, угол, равный половине острого угла ромба. По условию этот угол равен 34∘ (он меньше 45∘, поэтому это именно половина острого угла, а не тупого). Следовательно, α=34∘, и острый угол ромба равен
2α=2⋅34∘=68∘.Проверка. Если острый угол равен 68∘, то диагональ к острой вершине делит его на два угла по 34∘; перпендикуляр OH к стороне образует с этой диагональю угол 90∘−34∘=56∘, а со второй диагональю — угол 90∘−56∘=34∘, что согласуется с условием.
Ответ: 68.