Задача №19535

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 20, а $\mathrm{tg}\angle BCA=0,7\text{.}$ Найдите площадь ромба.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$ Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10\text{,}$ а треугольник $OBC$ прямоугольный ($\angle BOC=90^{\circ }$).

Угол $BCA$ — это угол $OCB$ прямоугольного треугольника $OBC\text{,}$ для которого $OC$ — прилежащий катет, а $OB$ — противолежащий. Тогда

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{OB}{OC}=0,7\Rightarrow OB=0,7\cdot OC=0,7\cdot 10=7.$$

Значит, вторая диагональ $BD=2\cdot OB=14\text{.}$

Площадь ромба через диагонали:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 14=140.$$

Ответ: 140.