Задача №19047

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $38^{\circ }\text{.}$ Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения диагоналей, $OH\perp AB\text{,}$ $H\in AB\text{.}$

1. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный с прямым углом при вершине $O\text{,}$ а $OH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AB\text{.}$
2. В прямоугольном треугольнике $AOH$ ($\angle AHO=90^{\circ }$) острые углы дают в сумме $90^{\circ }\text{:}$ $\angle OAH+\angle AOH=90^{\circ }\text{.}$ Аналогично в треугольнике $BOH\text{:}$ $\angle OBH+\angle BOH=90^{\circ }\text{.}$
3. Угол $38^{\circ }$ — это угол между перпендикуляром $OH$ и одной из диагоналей, то есть либо $\angle AOH\text{,}$ либо $\angle BOH\text{.}$

• Если $\angle BOH=38^{\circ }\text{,}$ то $\angle OBH=90^{\circ }-38^{\circ }=52^{\circ }\text{.}$ Диагональ ромба — биссектриса его угла, поэтому угол ромба при вершине $B$ равен $2\cdot 52^{\circ }=104^{\circ }\text{,}$ а смежный с ним острый угол ромба равен $180^{\circ }-104^{\circ }=76^{\circ }\text{.}$
• Если $\angle AOH=38^{\circ }\text{,}$ то $\angle OAH=52^{\circ }$ и угол ромба при вершине $A$ равен $104^{\circ }$ — снова острый угол ромба равен $76^{\circ }\text{.}$

Оба случая дают один и тот же ответ.

Ответ: $76\text{.}$