Задача №19795

Постройте график функции

$y=|x|\cdot (x+2)-5x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскрываем модуль. Функция $y=|x|\cdot (x+2)-5x$ задаётся двумя формулами.

При $x\ge 0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x(x+2)-5x=x^2+2x-5x=x^2-3x.$$

Это часть параболы ветвями вверх; вершина при $x=\frac{3}{2}\text{,}$ $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-3\cdot \frac{3}{2}=-2,25\text{.}$ Нули: $x=0$ и $x=3\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=-x(x+2)-5x=-x^2-2x-5x=-x^2-7x.$$

Это часть параболы ветвями вниз; вершина при $x=-\frac{7}{2}=-3,5\text{,}$ $y=-(-3,5{)}^2-7\cdot (-3,5)=12,25\text{.}$ Нули: $x=0$ и $x=-7\text{.}$

В точке $x=0$ обе формулы дают $y=0$ — график непрерывен, точка $(0;0)$ общая для двух кусков.

Как ведёт себя график. Левый кусок ($x<0$): поднимается из $-\infty$ до максимума $12,25$ при $x=-3,5\text{,}$ затем опускается к $0$ при $x\to 0^{-}\text{.}$ Правый кусок ($x\ge 0$): из точки $(0;0)$ опускается до минимума $-2,25$ при $x=1,5\text{,}$ затем растёт до $+\infty \text{.}$

Считаем число точек пересечения с прямой $y=m$ (сумма пересечений с левым и правым кусками):

• $m>12,25\text{:}$ левый — $0\text{,}$ правый — $1\text{;}$ итого $1\text{.}$
• $m=12,25\text{:}$ левый касается вершины — $1\text{,}$ правый — $1\text{;}$ итого $2\text{.}$
• $-2,25<m<12,25$ (кроме частных значений): суммарно $3$ точки.
• $m=-2,25\text{:}$ левый — $1\text{,}$ правый касается вершины — $1\text{;}$ итого $2\text{.}$
• $m<-2,25\text{:}$ левый — $1\text{,}$ правый — $0\text{;}$ итого $1\text{.}$

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет только при значениях, равных ординатам вершин кусков: $m=12,25$ (касание вершины левой параболы плюс одна точка на правой ветви) и $m=-2,25$ (касание вершины правой параболы плюс одна точка на левой ветви).

Ответ: $m=-2,25$ или $m=12,25\text{.}$