Задача №19793

Постройте график функции

$y=5|x-2|-x^2+5x-6\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскрываем модуль по двум промежуткам.

Функция $y=5|x-2|-x^2+5x-6$ распадается на две квадратичные ветви.

1) При $x\ge 2\text{:}$ $|x-2|=x-2\text{,}$ поэтому

$$y=5(x-2)-x^2+5x-6=-x^2+10x-16.$$

Это парабола ветвями вниз с вершиной в точке $\left(5;9\right)$ (так как $x_{\text{в}}=\frac{10}{2}=5\text{,}$ $y(5)=9$). В начальной точке $x=2$ получаем $y=0\text{.}$

2) При $x<2\text{:}$ $|x-2|=2-x\text{,}$ поэтому

$$y=5(2-x)-x^2+5x-6=-x^2+4.$$

Это парабола ветвями вниз с вершиной $\left(0;4\right)\text{;}$ при $x\to 2$ значение $y\to 0\text{,}$ при $x=-2$ значение $y=0\text{.}$ Обе ветви стыкуются в точке $(2;0)$ — график непрерывен.

Считаем число точек пересечения с прямой $y=m\text{.}$

Левая ветвь $y=-x^2+4$ на $x<2\text{:}$ растёт до $(0;4)$ и убывает до $0$ при $x\to 2\text{.}$ Правая ветвь $y=-x^2+10x-16$ на $x\ge 2\text{:}$ растёт от $0$ до вершины $(5;9)$ и убывает.

Число общих точек прямой $y=m$ с графиком:

• $m>9$ — $0$ точек;
• $m=9$ — $1$ точка (вершина правой ветви);
• $4<m<9$ — $2$ точки (обе на правой ветви);
• $m=4$ — $3$ точки: вершина левой ветви $(0;4)$ плюс две точки правой ветви;
• $0<m<4$ — $4$ точки (по две на каждой ветви);
• $m=0$ — $3$ точки: $(-2;0)$ на левой ветви и $(2;0),(8;0)$ на правой;
• $m<0$ — $2$ точки.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=4$ и при $m=0\text{.}$

Ответ: $m=0\text{;}$ $m=4\text{.}$