Задача №19787

Постройте график функции

$y=3-\frac{x+2}{x^2+2x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.

1. Упростим формулу функции.

Знаменатель раскладывается на множители: $x^2+2x=x(x+2)\text{.}$ Тогда

$$y=3-\frac{x+2}{x(x+2)}=3-\frac{1}{x}.$$

Сокращение возможно только при $x+2\ne 0\text{,}$ а исходная дробь определена лишь при $x\ne 0\text{.}$ Значит, область определения: $x\ne 0$ и $x\ne -2\text{.}$

2. Что за график.

График функции $y=3-\frac{1}{x}$ — гипербола $y=-\frac{1}{x}\text{,}$ поднятая на $3$ вверх. У неё горизонтальная асимптота $y=3$ и вертикальная асимптота $x=0\text{.}$ Из-за условия $x\ne -2$ на гиперболе выколота точка с абсциссой $x=-2\text{;}$ её ордината

$$y=3-\frac{1}{-2}=3+0,5=3,5.$$

Итак, график — гипербола $y=3-\frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(-2;3,5)\text{.}$

3. Когда прямая $y=m$ не пересекает график.

Гипербола $y=3-\frac{1}{x}$ принимает все значения, кроме $y=3$ (горизонтальная асимптота недостижима: уравнение $3-\frac{1}{x}=3$ даёт $\frac{1}{x}=0$ — решений нет).

Кроме того, значение $y=3,5$ достигалось бы только в точке $x=-2$ (из $3-\frac{1}{x}=3,5$ следует $x=-2$), но эта точка выколота. Значит, значение $y=3,5$ график не принимает нигде.

Поэтому прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек ровно при $m=3$ и $m=3,5\text{.}$

Ответ: $m=3$ или $m=3,5\text{.}$