Задача №19791

Точка $E$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD\text{.}$ Докажите,
что площадь треугольника $ECD$ равна половине площади трапеции.

Пусть $BC\parallel AD$ — основания трапеции, а $h$ — её высота (расстояние между основаниями). Тогда площадь трапеции

Проведём отрезки $EC$ и $ED\text{.}$ Они разбивают трапецию на три треугольника: $AED\text{,}$ $ECD$ и $BEC\text{,}$ поэтому

Точка $E$ — середина боковой стороны $AB\text{,}$ значит она равноудалена от прямых, содержащих основания, на половину высоты трапеции.

Треугольник $AED\text{.}$ Его основание $AD$ лежит на нижнем основании трапеции, а высота, опущенная из $E\text{,}$ равна $\frac{h}{2}$ (расстояние от $E$ до прямой $AD$ вдвое меньше расстояния от $B$ до $AD\text{,}$ равного $h$). Поэтому

Треугольник $BEC\text{.}$ Аналогично его основание $BC$ лежит на верхнем основании, а высота из $E$ также равна $\frac{h}{2}\text{,}$ значит

Сложим площади двух отсечённых треугольников:

Тогда для оставшегося треугольника $ECD\text{:}$

Что и требовалось доказать.