Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 28, BD=14. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями BC = 7 и AD = 28, диагональ BD = 14. Доказать: CBD BDA. Решение. Основания трапеции параллельны: BC AD. Диагональ BD — секущая для этих параллельных прямых, а углы CBD и BDA — накрест лежащие при этой секущей. Следовательно, CBD = BDA. Сравним стороны, прилежащие к этим равным углам. В треугольнике CBD угол при вершине B заключён между сторонами BC и BD; в треугольнике BDA угол при вершине D заключён между сторонами DB и DA. Находим отношения: (BC)/(DB) = (7)/(14) = (1)/(2), (BD)/(DA) = (14)/(28) = (1)/(2). Значит, (BC)/(DB) = (BD)/(DA) = (1)/(2), то есть две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны (пункт 1). По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) CBD BDA с коэффициентом подобия k = (1)/(2), что и требовалось доказать. Ответ: доказано.

Доказательство