Задача №19657

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 7 и 28, $BD=14\text{.}$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Дано: $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC=7$ и $AD=28\text{,}$ диагональ $BD=14\text{.}$

Доказать: $△CBD\sim △BDA\text{.}$

Решение.

1. Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD\text{.}$ Диагональ $BD$ — секущая для этих параллельных прямых, а углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$ — накрест лежащие при этой секущей. Следовательно,

2. Сравним стороны, прилежащие к этим равным углам. В треугольнике $CBD$ угол при вершине $B$ заключён между сторонами $BC$ и $BD\text{;}$ в треугольнике $BDA$ угол при вершине $D$ заключён между сторонами $DB$ и $DA\text{.}$ Находим отношения:

3. Значит,

то есть две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны (пункт 1).

4. По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}\text{,}$ что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.