Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.

Пусть AN — биссектриса угла A, BN — биссектриса угла B параллелограмма ABCD, точка N лежит на стороне CD. Шаг 1. Треугольник ADN равнобедренный. В параллелограмме AB CD. Прямая AN — секущая для этих параллельных прямых, поэтому углы BAN и AND — накрест лежащие, значит AND = BAN. Так как AN — биссектриса угла A, то BAN = NAD. Отсюда AND = NAD, то есть в треугольнике ADN углы при стороне AN равны, и он равнобедренный: DN = AD. Шаг 2. Треугольник BCN равнобедренный. Аналогично, AB CD и BN — секущая, поэтому BNC = ABN как накрест лежащие. Так как BN — биссектриса угла B, то ABN = NBC. Значит BNC = NBC, и треугольник BCN равнобедренный: CN = BC. Шаг 3. Вывод. В параллелограмме противоположные стороны равны: AD = BC. Следовательно, DN = AD = BC = CN. Точка N лежит на отрезке CD и делит его на две равные части, значит N — середина CD, что и требовалось доказать. Ответ: доказано.

Доказательство