Задача №19707

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются
в точке $N\text{,}$ лежащей на стороне $CD\text{.}$ Докажите, что $N$ — середина $CD\text{.}$

Пусть $AN$ — биссектриса угла $A\text{,}$ $BN$ — биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD\text{,}$ точка $N$ лежит на стороне $CD\text{.}$

Шаг 1. Треугольник $ADN$ равнобедренный.

В параллелограмме $AB\parallel CD\text{.}$ Прямая $AN$ — секущая для этих параллельных прямых, поэтому углы $BAN$ и $AND$ — накрест лежащие, значит

Так как $AN$ — биссектриса угла $A\text{,}$ то $\angle BAN=\angle NAD\text{.}$ Отсюда

то есть в треугольнике $ADN$ углы при стороне $AN$ равны, и он равнобедренный: $DN=AD\text{.}$

Шаг 2. Треугольник $BCN$ равнобедренный.

Аналогично, $AB\parallel CD$ и $BN$ — секущая, поэтому $\angle BNC=\angle ABN$ как накрест лежащие. Так как $BN$ — биссектриса угла $B\text{,}$ то $\angle ABN=\angle NBC\text{.}$ Значит

и треугольник $BCN$ равнобедренный: $CN=BC\text{.}$

Шаг 3. Вывод.

В параллелограмме противоположные стороны равны: $AD=BC\text{.}$ Следовательно,

Точка $N$ лежит на отрезке $CD$ и делит его на две равные части, значит $N$ — середина $CD\text{,}$ что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.