Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD=15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Рассмотрим треугольники CBD и BDA. Угол между сторонами. Основания трапеции параллельны: BC AD. Диагональ BD — секущая для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны: CBD = BDA. Пропорциональность сторон, образующих этот угол. В треугольнике CBD угол при вершине B заключён между сторонами CB и BD; в треугольнике BDA угол при вершине D заключён между сторонами BD и DA. Подставим данные BC=5, AD=45, BD=15: (CB)/(BD)=(5)/(15)=13, (BD)/(DA)=(15)/(45)=13. Значит, (CB)/(BD)=(BD)/(DA)=13, то есть стороны, прилежащие к равным углам, пропорциональны. Вывод. У треугольников CBD и BDA равны углы ( CBD= BDA) и пропорциональны прилежащие к ним стороны (CB:BD=BD:DA). По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними CBD BDA. Что и требовалось доказать. Доказательство: треугольники CBD и BDA подобны по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними (угол CBD = угол BDA как накрест лежащие при BC ∥ AD, а CB : BD = BD : DA = 1 : 3).

Доказательство