Задача №18877

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 5 и 45, $BD=15\text{.}$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA\text{.}$

Угол между сторонами. Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD\text{.}$ Диагональ $BD$ — секущая для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:

Пропорциональность сторон, образующих этот угол. В треугольнике $CBD$ угол при вершине $B$ заключён между сторонами $CB$ и $BD\text{;}$ в треугольнике $BDA$ угол при вершине $D$ заключён между сторонами $BD$ и $DA\text{.}$ Подставим данные $BC=5\text{,}$ $AD=45\text{,}$ $BD=15\text{:}$

Значит,

то есть стороны, прилежащие к равным углам, пропорциональны.

Вывод. У треугольников $CBD$ и $BDA$ равны углы ($\angle CBD=\angle BDA$) и пропорциональны прилежащие к ним стороны ($CB:BD=BD:DA$). По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Что и требовалось доказать.

Доказательство: треугольники CBD и BDA подобны по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними (угол CBD = угол BDA как накрест лежащие при BC ∥ AD, а CB : BD = BD : DA = 1 : 3).