Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=4, AC=16.

Задача №19790: Геометрические задачи на вычисление

В прямоугольном треугольнике $A B C$ прямой угол при вершине $B,$ а $B H$ — высота, опущенная на гипотенузу $A C$ ( $A H = 4,$ $A C = 16$ ).

Подобие. Рассмотрим треугольники $A B H$ и $A C B .$ У них общий угол $A,$ а углы $A H B$ и $A B C$ прямые. Значит, по двум углам

△ A B H \sim △ A C B .

Пропорция. Из подобия соответственные стороны пропорциональны:

\frac{A B}{A C} = \frac{A H}{A B} \Rightarrow A B^{2} = A H \cdot A C .

Это известное свойство: катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на неё.

Вычисление.

A B^{2} = 4 \cdot 16 = 64, A B = 64 = 8.

Ответ: $A B = 8 .$