Задача №19785

Точка $K$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD\text{.}$ Докажите, что площадь треугольника $KAB$ равна половине площади трапеции.

Пусть в трапеции $ABCD$ параллельные основания — $AD=a$ и $BC=b\text{,}$ а высота (расстояние между основаниями) равна $h\text{.}$ Тогда площадь трапеции

Стороны $AB$ и $CD$ — боковые. Точка $K$ — середина боковой стороны $CD\text{.}$

Расстояния от $K$ до оснований. Точка $D$ лежит на прямой $AD\text{,}$ поэтому её расстояние до этой прямой равно $0\text{,}$ а расстояние от точки $C$ до прямой $AD$ равно высоте $h\text{.}$ Так как $K$ — середина отрезка $CD\text{,}$ её расстояние до прямой $AD$ равно среднему из этих величин:

Аналогично, расстояние от $C$ до прямой $BC$ равно $0\text{,}$ от $D$ — равно $h\text{,}$ значит расстояние от середины $K$ до прямой $BC$

Площади «угловых» треугольников. Треугольник $KAD$ имеет основание $AD=a$ и высоту $h_1=\frac{h}{2}\text{:}$

Треугольник $KBC$ имеет основание $BC=b$ и высоту $h_2=\frac{h}{2}\text{:}$

Площадь треугольника $KAB\text{.}$ Трапеция $ABCD$ разбивается отрезками $KA$ и $KB$ на три треугольника: $KAD\text{,}$ $KAB$ и $KBC\text{.}$ Поэтому

Сравним с площадью трапеции:

Таким образом, $S_{KAB}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$ — площадь треугольника $KAB$ равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.