Задача №18974

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 9 и 36, $BD=18\text{.}$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, то есть $BC\parallel AD\text{.}$

Равенство углов. Прямая $BD$ — секущая для параллельных прямых $BC$ и $AD\text{.}$ Углы $CBD$ и $BDA$ — накрест лежащие при этих параллельных прямых и секущей $BD\text{,}$ поэтому

Пропорциональность сторон. Рассмотрим стороны, прилежащие к этим равным углам. В треугольнике $CBD$ угол $CBD$ заключён между сторонами $BC$ и $BD\text{,}$ а в треугольнике $BDA$ угол $BDA$ — между сторонами $DB$ и $DA\text{.}$ Найдём отношения соответственных сторон:

Значит,

Вывод. У треугольников $CBD$ и $BDA$ две пары соответственных сторон пропорциональны ($\frac{BC}{BD}=\frac{BD}{DA}$), а углы между этими сторонами равны ($\angle CBD=\angle BDA$). По признаку подобия треугольников «по двум сторонам и углу между ними» треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны, что и требовалось доказать.

Ответ: треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны (по двум сторонам и углу между ними, коэффициент подобия равен $2$).

Доказано: треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними (коэффициент подобия 2)