Задача №19666

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CL$ и $AN$ равны.

Точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, $O$ — середина диагонали $AC\text{,}$ поэтому $CO=AO\text{.}$

Рассмотрим треугольники $COL$ и $AON\text{.}$

1. $CO=AO$ (доказано выше).
2. $\angle COL=\angle AON$ как вертикальные углы (прямая $LN$ пересекает прямую $AC$ в точке $O$).
3. $\angle OCL=\angle OAN$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC\parallel AD$ и секущей $AC\text{.}$

Следовательно, $△COL=△AON$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: $CL=AN\text{.}$

Ответ: отрезки $CL$ и $AN$ равны, что и требовалось доказать.