Задача №19701

Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD\text{.}$
Точка $M$ — середина стороны $AD\text{.}$ Докажите, что $CM$ — биссектриса
угла $BCD\text{.}$

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AD=2CD\text{,}$ $M$ — середина $AD\text{.}$

Доказать: $CM$ — биссектриса угла $BCD\text{.}$

Доказательство.

1. Так как $M$ — середина стороны $AD\text{,}$ то

2. Значит, треугольник $CMD$ — равнобедренный с основанием $CM$ ($MD=DC$), поэтому углы при основании равны:

3. В параллелограмме $BC\parallel AD\text{.}$ Прямая $CM$ — секущая для этих параллельных прямых, а углы $\angle BCM$ и $\angle CMD$ — накрест лежащие, следовательно

4. Из пунктов 2 и 3 получаем

то есть луч $CM$ делит угол $BCD$ на два равных угла. Луч $CM$ проходит внутри угла $BCD\text{,}$ так как точка $M$ лежит на стороне $AD$ между $A$ и $D\text{.}$

Следовательно, $CM$ — биссектриса угла $BCD\text{,}$ что и требовалось доказать.

Ответ: доказательство приведено выше.