Задача №19421

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O\text{.}$ Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB\text{.}$ Найдите угол $ACB\text{,}$ если угол $AOB$ равен $67^{\circ }\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Угол $AOB$ — центральный угол окружности, он опирается на дугу $AB$ (не содержащую точку $C$) и равен ей: $⌣AB=67^{\circ }\text{.}$

Угол $ACB$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $AB\text{.}$ Точки $O$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AB\text{,}$ значит точка $C$ лежит на большей дуге, и вписанный угол $ACB$ опирается на меньшую дугу $AB$ (ту же, что и центральный угол $AOB$).

По теореме о вписанном угле вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{67^{\circ }}{2}=33,5^{\circ }.$$

Ответ: $33,5\text{.}$