Задача №19240

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $33^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Проведём диагональ $BD\text{.}$ Точка $D$ лежит на дуге $AC\text{,}$ не содержащей $B\text{,}$ поэтому луч $BD$ проходит внутри угла $ABC\text{,}$ и

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC.$$

Вписанные углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$ (и лежат по одну сторону от хорды $CD$), значит они равны:

$$\angle DBC=\angle CAD=33^{\circ }.$$

Отсюда

$$\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=38^{\circ }-33^{\circ }=5^{\circ }.$$

Ответ: $5\text{.}$