Задача №19781

Постройте график функции

$y=|x|\cdot (x+1)-3x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскроем модуль. Функция $y=|x|\cdot (x+1)-3x$ задаётся двумя формулами.

При $x\ge 0$ имеем $|x|=x\text{:}$

$$y=x(x+1)-3x=x^2+x-3x=x^2-2x.$$

Это парабола ветвями вверх с вершиной в точке $\left(1;-1\right)\text{;}$ при $x=0$ она проходит через $(0;0)\text{,}$ при $x=2$ снова через $(2;0)\text{.}$

При $x<0$ имеем $|x|=-x\text{:}$

$$y=-x(x+1)-3x=-x^2-x-3x=-x^2-4x.$$

Это парабола ветвями вниз с вершиной в точке $\left(-2;4\right)\text{;}$ она проходит через $(0;0)$ и через $(-4;0)\text{.}$

Обе части в точке $x=0$ дают $y=0\text{,}$ поэтому график непрерывен: левая парабола-«горка» с максимумом $4$ в точке $(-2;4)$ спускается к началу координат, а правая парабола-«яма» с минимумом $-1$ в точке $(1;-1)$ уходит вверх.

2. Считаем число общих точек прямой $y=m$ с графиком. Горизонтальная прямая $y=m$ пересекает каждую из двух ветвей. Разберём по значениям $m$ (учитываем области $x\ge 0$ и $x<0$):

• $m>4\text{:}$ правая ветвь даёт $1$ точку, левая — ни одной. Итого $1\text{.}$
• $m=4\text{:}$ правая ветвь даёт $1$ точку, левая касается в вершине $(-2;4)$ — $1$ точка. Итого $2\text{.}$
• $0<m<4\text{:}$ правая ветвь — $1$ точка, левая — $2$ точки. Итого $3\text{.}$
• $m=0\text{:}$ точки $(0;0)\text{,}$ $(2;0)$ и $(-4;0)\text{.}$ Итого $3\text{.}$
• $-1<m<0\text{:}$ правая ветвь — $2$ точки, левая — $1$ точка. Итого $3\text{.}$
• $m=-1\text{:}$ правая ветвь касается в вершине $(1;-1)$ — $1$ точка, левая — $1$ точка. Итого $2\text{.}$
• $m<-1\text{:}$ правая ветвь — ни одной точки, левая — $1$ точка. Итого $1\text{.}$

3. Вывод. Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет с графиком при $m=-1$ (касание правой параболы в её вершине) и при $m=4$ (касание левой параболы в её вершине).

Ответ: $m=-1$ или $m=4\text{.}$