Задача №19779

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C\text{.}$ Найдите длину отрезка $KP\text{,}$ если $AP=34\text{,}$ а сторона $BC$ в 2 раза меньше стороны $AB\text{.}$

Точки $B\text{,}$ $K\text{,}$ $P\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности, поэтому четырёхугольник $BKPC$ вписанный. Сумма его противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

Точки $A\text{,}$ $K\text{,}$ $B$ лежат на одной прямой (сторона $AB$), значит углы $AKP$ и $BKP$ смежные:

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB\text{.}$ Угол $A$ у них общий, а $\angle AKP=\angle ACB\text{.}$ По двум углам треугольники подобны:

Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон:

По условию $BC$ в 2 раза меньше $AB\text{,}$ то есть $\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}\text{,}$ и $AP=34\text{.}$ Тогда:

Ответ: $17\text{.}$