Задача №19768

Углы при одном из оснований трапеции равны $47^{\circ }$ и $43^{\circ }\text{,}$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 14. Найдите основания трапеции.

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD=a$ (большее) и $BC=b$ (меньшее), а углы при основании $AD$ равны $\angle A=47^{\circ }$ и $\angle D=43^{\circ }\text{.}$

Отрезок между серединами боковых сторон — это средняя линия трапеции:

Отрезок между серединами оснований. Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$

то есть треугольник $APD$ прямоугольный с гипотенузой $AD\text{.}$ Пусть $N$ — середина $AD\text{;}$ медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

Аналогично $BC\parallel AD\text{,}$ значит треугольник $BPC$ подобен $APD$ и тоже прямоугольный с прямым углом при $P\text{.}$ Если $M$ — середина $BC\text{,}$ то

Точки $P\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ лежат на одной прямой (прямая из вершины $P$ через середины параллельных оснований), поэтому отрезок, соединяющий середины оснований, равен

Система. Средняя линия больше отрезка между серединами оснований, поэтому $\frac{a+b}{2}=16\text{,}$ а $\frac{a-b}{2}=14\text{:}$

Складывая и вычитая: $2a=60\Rightarrow a=30\text{,}$ тогда $b=32-30=2\text{.}$

Проверка: $\frac{30+2}{2}=16\text{,}$ $\frac{30-2}{2}=14$ — совпадает с условием.

Ответ: основания трапеции равны $30$ и $2\text{.}$