Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25.

Задача №19765: Геометрические задачи на вычисление

Прямая $M N$ параллельна стороне $A C,$ поэтому в треугольниках $B M N$ и $B A C :$

угол $B$ — общий;
$∠ B M N = ∠ B A C$ как соответственные углы при параллельных прямых $M N$ и $A C$ и секущей $A B .$

Значит, $△ B M N \sim △ B A C$ по двум углам.

Из подобия отношения соответственных сторон равны:

\frac{B N}{B C} = \frac{M N}{A C} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} .

Сторона $B C$ состоит из отрезков $B N$ и $N C,$ то есть $B C = B N + N C = B N + 25 .$ Подставим:

\frac{B N}{B N + 25} = \frac{2}{7} .

Решаем уравнение:

7 \cdot B N = 2 (B N + 25),

7 B N = 2 B N + 50,

5 B N = 50,

B N = 10.

Ответ: $10 .$