Задача №19763

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC\text{.}$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E\text{.}$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD\text{,}$ если $AD=6\text{,}$ $BC=5\text{.}$

Ключевые расстояния до касательной. Прямая $AB$ — касательная к окружности в точке $E\text{.}$ По условию $AB\perp BC\text{,}$ а так как $BC\parallel AD$ (основания трапеции), то $AB\perp AD\text{.}$ Значит:

• расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ равно $BC=5$ (отрезок $CB\perp AB$);
• расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно $AD=6$ (отрезок $DA\perp AB$).

Обозначим эти расстояния $p=BC=5$ и $q=AD=6\text{,}$ а искомое расстояние от $E$ до прямой $CD$ — через $d\text{.}$

Углы между касательной и хордами. Точки $C\text{,}$ $D\text{,}$ $E$ лежат на окружности. По теореме об угле между касательной и хордой:

Выражаем расстояния. Расстояние от $C$ до прямой $AB$ — это проекция хорды $EC$ на перпендикуляр к $AB\text{,}$ то есть

Аналогично

Расстояние от $E$ до прямой $CD$ найдём как высоту треугольника $ECD\text{,}$ опущенную из вершины $E\text{:}$

Перемножаем. Тогда

Следовательно

Искомое расстояние не зависит от высоты трапеции $AB$ и равно $\sqrt{30}\text{.}$

Ответ: $\sqrt{30}\text{.}$