Задача №19762

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C\text{.}$ Найдите длину отрезка $KP\text{,}$ если $AK=18\text{,}$ а сторона $AC$ в 1,2 раза больше стороны $BC\text{.}$

Точки $K\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $P$ лежат на одной окружности, поэтому четырёхугольник $KBCP$ — вписанный. У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

Так как точка $P$ лежит на стороне $AC\text{,}$ угол $\angle BCP$ совпадает с углом $\angle BCA=\angle C$ треугольника $ABC\text{.}$

Точка $K$ лежит на стороне $AB\text{,}$ значит углы $\angle AKP$ и $\angle BKP$ смежные:

Отсюда $\angle AKP=\angle BCA=\angle C\text{.}$

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB\text{:}$ угол $A$ у них общий, а $\angle AKP=\angle ACB\text{.}$ По двум углам треугольники подобны:

Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон:

По условию $AC=1,2\cdot BC\text{,}$ поэтому

Ответ: $15\text{.}$