Задача №19761

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}2,5x-1,& x<2,\\ -3,5x+11,& 2⩽x⩽3,\\ x-1,& x>3.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбор графика по кускам. График состоит из трёх звеньев.

1. При $x<2$ — луч прямой $y=2,5x-1$ (возрастает). Крайняя точка $x\to 2^{-}\text{:}$ $y\to 2,5\cdot 2-1=4$ (точка $(2;4)$ не включена, кружок пустой). Значения $y\text{:}$ промежуток $(-\infty ;4)\text{.}$
2. При $2⩽x⩽3$ — отрезок прямой $y=-3,5x+11$ (убывает). Концы: $x=2\Rightarrow y=-7+11=4$ (включён), $x=3\Rightarrow y=-10,5+11=0,5$ (включён). Значения $y\text{:}$ отрезок $[0,5;4]\text{.}$
3. При $x>3$ — луч прямой $y=x-1$ (возрастает). Крайняя точка $x\to 3^{+}\text{:}$ $y\to 3-1=2$ (точка $(3;2)$ не включена). Значения $y\text{:}$ промежуток $(2;+\infty )\text{.}$

Сколько точек даёт каждое звено при высоте $y=m\text{.}$
Горизонтальная прямая $y=m$ пересекает монотонное звено не более одного раза, причём ровно один раз, если $m$ попадает в множество значений этого звена:

• звено 1 даёт точку при $m<4\text{;}$
• звено 2 даёт точку при $0,5⩽m⩽4\text{;}$
• звено 3 даёт точку при $m>2\text{.}$

Складываем количество точек $N(m)$ по промежуткам.

При $m=2$ третье звено не даёт точки: точка $(3;2)$ выколота ($x>3$ строго). При $m=4$ первое звено не даёт точки: точка $(2;4)$ выколота ($x<2$ строго), но второе звено в $x=2$ и третье звено дают две точки.

Ровно две общие точки получаются при $0,5⩽m⩽2$ и отдельно при $m=4\text{.}$

Ответ: $0,5⩽m⩽2$ или $m=4\text{.}$