Задача №19449

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

1. Все высоты равностороннего треугольника равны.
2. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
3. В любой ромб можно вписать окружность.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) Все высоты равностороннего треугольника равны.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

3) В любой ромб можно вписать окружность.

Проверим каждое утверждение.

1) Все высоты равностороннего треугольника равны. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а сам он совмещается сам с собой при поворотах на $120^{\circ }$ и осевых симметриях. Высоты, опущенные на равные стороны, равны между собой. Истинно.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу. По теореме о вписанном угле вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: ${\angle }_{впис}=\frac{1}{2}{\angle }_{центр}\text{.}$ Равенство неверно. Ложно.

3) В любой ромб можно вписать окружность. У ромба все стороны равны, поэтому суммы противоположных сторон равны ($a+a=a+a$) — выполнен признак описанного четырёхугольника. Значит, в любой ромб можно вписать окружность (её центр — точка пересечения диагоналей). Истинно.

Истинными являются утверждения 1 и 3.

Ответ: 13.